13. 权理论

在本节中我们将叙述只从根系出发的半单李代数表示理论。仍记 $Φ$ 为根系， $E$ 为欧氏空间， $W$ 是 Weyl 群。

权（weight）

权

定义：权（weight）

$λ \in E$ 称为一个权（weight） ，若 $⟨ λ, α ⟩ \in Z$ ， $\forall α \in Φ$ 。定义 $Λ$ 为所有权的集合。

显然 $Φ \subset Λ$ 。另一方面，我们有

定理：验证权只需验证其与基的尖括号整数

$⟨ λ, Δ ⟩ \subset Z$ ，就有 $λ \in Λ$ 。

证明： 这是这一推论的直接推论。 $◻$

注意： $Λ$ 显然是无限的，例如对任意根 $α$ ， $Z α$ 均为权。定义：

定义：根格点（root lattice）

定义根格点（root lattice） 为 $Λ_{r} := ⨁_{i = 1}^{l} Z α_{i}$ ，即 $Φ$ 生成的自由 $Z -$ 模。

支配权与权的模结构

定义：支配权（dominant weight）

固定 $Φ$ 的一个基 $Δ$ 。称 $λ \in Λ$ 是支配权（dominant weight） ，若各整数 $⟨ λ, α ⟩$ 都是非负的。称 $λ \in Λ$ 强支配（strongly dominant），若各整数是正的。
记 $Λ^{+}$ 为支配权集， $Λ^{+ +}$ 为强支配权集。

特别地，由Weyl 室的语言， $Λ^{+} = Λ \cap \overset{―}{C (Δ)}$ ， $Λ^{+ +} = Λ \cap C (Δ)$ 。

权和支配权有明显的几何意义。事实上，权集是由基本支配权张成的 $Z -$ 模。

若 $Δ = {α_{1}, \dots, α_{l}}$ ，则 $\frac{2 α_{i}}{(α_{i}, α_{i})}$ 同样构成 $E$ 的线性基。令 $λ_{1}, \dots, λ_{l}$ 是这组基在内积意义下对偶的线性基：

\frac{2 (α_{i}, λ_{j})}{(α_{i}, α_{i})} = δ_{i j} .

则 $⟨ λ_{i}, α_{j} ⟩$ 为正整数， $\forall i, j$ ，因此这些基为支配权。

定义：基本支配权（fundamental dominant weight）

称上面定义的线性基 $λ_{i}$ 为 基 $Δ$ 对应的基本支配权（fundamental dominant weight (relative to $Δ$ )。

定理：权集的

Z -

模结构

若 $λ \in Λ$ ，则 $λ$ 可写为诸 $λ_{i}$ 的 $Z -$ 线性表示。事实上：

λ = \sum ⟨ λ, α_{i} ⟩ λ_{i} .

也就是说， $Λ = {span}_{Z} {λ_{1}, \dots, λ_{2}}$ 。
特别地，若 $λ \in Λ^{+}$ ，则 $λ$ 关于 $λ_{i}$ 的线性表示系数为非负整数；若 $λ \in Λ^{+ +}$ ，则各系数为正整数。

证明： 基本支配权构成线性基，设

λ = \sum m_{i} λ_{i},

则 $m_{i} = (λ, λ_{i}) = ⟨ λ, α_{i} ⟩$ ，从而该公式成立。特别地，之后的三个结论成立。 $◻$

基本群

显然 $Λ / Λ_{r}$ 是一个有限加法群：这是因为根格点 $Λ_{r}$ 由诸单根 $α_{i}$ 张成，而权模 $Λ$ 由更细的基本支配权张成。定义：

定义：基本群（fundamental group）

称加法商群 $Λ / Λ_{r}$ 为 $Φ$ 的基本群（fundamental group）。

更仔细地考察：若将单根 $α_{i}$ 写为基本支配权的 $Z -$ 线性组合

α_{i} = \sum_{k = 1}^{l} m_{i k} λ_{k}, k \in Z

那么

⟨ α_{i}, α_{j} ⟩ = \sum_{k} m_{i k} ⟨ λ_{k}, α_{j} ⟩ = m_{i j} .

这就说明

(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{l}) = (λ_{1}, \dots, λ_{l}) (\begin{matrix} ⟨ α_{1}, α_{1} ⟩ & ⟨ α_{2}, α_{1} ⟩ & \dots & ⟨ α_{l}, α_{1} ⟩ \\ ⟨ α_{1}, α_{2} ⟩ & ⟨ α_{2}, α_{2} ⟩ & \dots & ⟨ α_{l}, α_{2} ⟩ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⟨ α_{l}, α_{1} ⟩ & ⟨ α_{l}, α_{2} ⟩ & \dots & ⟨ α_{l}, α_{l} ⟩ \end{matrix}) .

注意右侧是 Cartan 矩阵。也就是说：Cartan 矩阵是从基本支配权到单根的基变换矩阵。 由模上的结论，我们有

Claim：基本群的刻画

设 Cartan 矩阵 $C$ 作为 $Z -$ 线性变换的不变因子集为 $d_{1}, \dots, d_{l}$ ，则在加法群意义下

Λ / Λ_{r} ≅ Z_{d_{1}} \oplus Z_{d_{2}} \oplus \dots \oplus Z_{d_{l}} .

特别地， $| Λ / Λ_{r} | = det C$ 。

证明： $coker C$ 是扭模 $⨁_{i = 1}^{n} W_{i}$ ，其中 $W_{i}$ 作为加法群同构于 $Z_{d_{i}}$ 。 $◻$

例子：权与单根的关系、基本群阶数

在 $A_{1}$ 型根系中， $α_{1} = 2 λ_{1}$ （注：这是唯一一个单根为支配权的例子，原因后续再讲）
在 $A_{2}$ 型根系中，Cartan 矩阵为 $(\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})$ ，因此

α_{1} = 2 λ_{1} - λ_{2}, α_{2} = - λ_{1} + 2 λ_{2} .

通过计算 Cartan 矩阵的行列式，我们可以知道各不可约根系对应的基本群阶数：
- $A_{l}$ ： $l + 1$
- $B_{l}, C_{l}, E_{7}$ ：2
- $D_{l}$ ： 4
- $E_{6}$ ： 3
- $E_{8}, F_{4}, G_{2}$ ：1 。
事实上，可以直接计算出 $λ_{i}$ 到 $α_{i}$ 的关系，但这不甚有用。

支配权

权与支配权的共轭

由于 $W$ 保持内积，因此保持 $Λ$ 不变：事实上有

σ_{α_{i}} (λ_{j}) = λ_{j} - ⟨ λ_{j}, α_{i} ⟩ α_{i} \overset{依定义}{=} λ_{j} - δ_{i j} α_{i} .

权集的 $W -$ 轨道经常在表示的研究中出现。从“不出去，就固定”引理与练习10.14 （点与基本 Weyl 室闭包中一点通过 Weyl 群共轭）的性质出发，我们有：

引理：权与支配权在 Weyl 群下共轭

每一个权都恰与一个支配权 $W -$ 共轭。特别地，若 $λ$ 是支配权，则对任意 $σ (λ)$ ， $λ - σ (λ)$ 是正根之和：

σ (λ) ≺ λ, \forall σ \in W .

若 $λ$ 是强支配权，则

σ (λ) = λ ⟺ σ = {id}_{E} .

证明： $λ$ 是权，由练习10.14存在一个 $σ \in W$ 使 $σ (λ) \in \overset{―}{C (Δ)}$ ，即 $σ (λ) \in Λ \cap \overset{―}{C (Δ)} \subset Λ^{+}$ 。若 $σ_{1} (λ), σ_{2} (λ) \in Λ^{+}$ ，则 $σ_{2} σ_{1}^{- 1}$ 将 $σ_{1} (λ)$ 从 $\overset{―}{C (Δ)}$ 送到 $\overset{―}{C (Δ)}$ ，“不出去，就固定”引理给出 $σ_{2} (λ) = σ_{2} σ_{1}^{- 1} σ_{1} (λ) = σ_{1} (λ)$ ，这就说明了唯一性。

若 $λ$ 是支配权，作简单反射分解

σ = σ_{α_{i_{1}}} \dots σ_{α_{i_{t}}} \in W, α_{i_{k}} \in Δ, t = l (σ)

则由分解缩短引理或分解最短推论可知 $σ_{α_{i_{1}}} \dots σ_{α_{i_{t - 1}}} (α_{i_{t}})$ 是正根。通过归纳法可知

λ - σ (λ) = λ - σ_{α_{i_{1}}} \dots σ_{α_{i_{t - 1}}} (λ - ⟨ λ, α_{i_{t}} ⟩ α_{i_{t}}) = λ - σ σ_{α_{i_{t}}} (λ) + ⟨ λ, α_{i_{t}} ⟩ σ_{α_{i_{1}}} \dots σ_{α_{i_{t - 1}}} (α_{i_{t}}) ≻ 0.

最后，若 $λ$ 是强支配权， $σ (λ) = λ$ 且 $σ \neq {id}_{E}$ ，则存在 $α \in Δ$ 使 $β = σ (α) \in Φ^{-}$ 。由此有

0 < ⟨ λ, α ⟩ = ⟨ σ (λ), σ (α) ⟩ = ⟨ λ, β ⟩ = \sum_{i \in J} \frac{2 (λ, b_{i} α_{i})}{(α, α)} < 0

矛盾。 $◻$

权集的偏序关系

作为 $E$ 的一个子集， $Λ$ 也可以定义偏序关系： $λ ≻ μ$ 当且仅当 $λ - μ$ 是正根之和。可惜的是，这一偏序与支配权没什么关系：很容易有 $μ$ 支配， $λ ≻ μ$ ，但 $λ$ 不支配。

反例：偏序上位但不支配

考虑 $A_{2}$ 型根系中： $λ = α_{2}$ ， $μ = 0$ 。则

$λ$ 是非支配权： $⟨ λ, α_{2} ⟩ = 2$ ，但 $⟨ λ, α_{1} ⟩ = - 1$ 。
$0$ 是支配权。
$λ ≻ μ$ 。

虽然如此，但其实这一偏序的表现也不是太坏。

引理：偏序下位的支配权有限

设 $λ \in Λ^{+}$ ，则比 $λ$ 小的支配权只有有限个。

证明： 设 $μ$ 是比 $λ$ 小的支配权，则 $λ + μ$ 是支配的， $λ - μ$ 是正根之和，从而

0 \leq (λ + μ, λ - μ) = (λ, λ) - (μ, μ) .

因此 $μ \in {x \in E : (x, x) \leq (μ, μ)}$ ，其中离散向量当然是有限的。 $◻$

$δ$

定义：

δ

$δ = \frac{1}{2} \sum_{α ≻ 0} α$

我们已知有性质 $σ_{i} (δ) = δ - α_{i}$ 。当然 $δ$ 不一定落在、也不一定不落在根格点中（ $A_{1}$ ），但确实是一个权。确切地说：

引理：

δ

是基本支配权之和

$δ = \sum_{j = 1}^{l} λ_{j} .$

特别地， $δ$ 是强支配权。

证明： 由 $δ - ⟨ δ, α_{i} ⟩ α_{i} = σ_{i} (δ) = δ - α_{i}$ ，故 $⟨ δ, α_{i} ⟩ = 1$ ，从而由基本支配权的 $Z -$ 线性表示

δ = \sum_{j = 1}^{l} ⟨ δ, α_{j} ⟩ λ_{j} = \sum_{j = 1}^{l} λ_{j} .

$◻$

下面是一个与 $δ$ 有关的辅助结果。

引理：支配权原像与

δ

之和的模长估计

$μ$ 为支配权， $σ \in W$ ， $ν$ 为权，且 $σ (ν) = μ$ ，则

(ν + δ, ν + δ) \leq (μ + δ, μ + δ)

等号取到当且仅当 $ν = μ$ 。

证明： 我们有

(ν + δ, ν, δ) = (σ (ν + δ), σ (ν + δ)) = (μ + σ (δ), μ + σ (δ)) = (μ + δ, μ + δ) - 2 (μ, δ - σ (δ)) .

因为 $μ$ 是支配权， $δ - σ (δ)$ 是正根之和（权与支配权的共轭引理、上述引理），因此 $R H S \leq (μ + δ, μ + δ)$ 。取等当且仅当 $(μ, δ - σ (δ)) = 0$ ，即 $(μ, δ) = (μ, σ (δ)) = (ν, δ)$ ，即 $(μ - ν, δ) = 0$ 。但由权与支配权的共轭引理， $μ - ν$ 是正根之和，由 $δ$ 的强支配性知必须 $μ - ν = 0$ 。 $◻$

权的饱和集

权的特定在 $W$ 下稳定的有限集在表示理论中起极重要作用。

定义：饱和权集（saturated set of weights）

称 $Π \subset Λ$ 是饱和的（saturated），若对任意 $λ \in Π$ ， $α \in Φ$ ， $0 \leq i \leq ⟨ λ, α ⟩$ ，都有 $λ - i α \in Π$ 。

附注

注意：任何一个饱和权集都在 $W$ 下稳定： $σ_{α} (λ) = λ - ⟨ λ, α ⟩ α$ ， $W$ 由反射生成。

定义：最高权（highest weight）

称一个饱和权集 $Π$ 有最高权（highest weight） $λ$ ，若 $λ \in Π$ ，且 $\forall μ \in Π$ 有 $μ ≺ λ$ 。

事实上，这样的最高权必为支配权：由权共轭引理知对存在 $σ \in W$ 使 $σ (λ) \in Λ^{+}$ ，则 $λ = σ^{- 1} (σ (λ)) ≺ σ (λ) ≺ λ$ ，这说明只能有 $λ = σ (λ) \in Λ^{+}$ 。

例子

${0}$ 是饱和权集，最高权 $0$ 。
对半单李代数的根系 $Φ$ ，其并上 $0$ 是饱和权集。若 $Φ$ 是不可约的，则存在唯一的最高根（关于某个固定的基），由此 $Π$ 以此根作为最高权。

引理

有最高权的饱和权集一定是有限的。

证明： 由偏序下位的支配权数有限， $| Π \cap Λ^{+} | < \infty$ ，再由权与支配权的共轭

| Π | = | W \cdot (Π \cap Λ^{+}) |

$◻$

引理：小于饱和权集最高权的支配权必在饱和权集中

$Π$ 是饱和权集，最高权 $λ$ ，若 $μ \in Λ^{+}$ ，且 $μ ≺ λ$ ，则 $μ \in Π$ 。

证明： 设 $μ^{'} = μ + \sum_{α \in Δ} k_{α} α \in Π, k_{α} \in Z_{+}$ ，我们演示如何通过一个个减少 $k_{α}$ ，始终保持在 $Π$ 中，最终到达 $μ \in Π$ 。

我们的起点是 $λ$ 本身：其当然是一个符合条件的 $μ^{'}$ 。现设 $μ^{'} \neq μ$ ，则某些 $k_{α}$ 为正（非零）。由

(\sum_{α \in Δ} k_{α} α, \sum_{α \in Δ} k_{α} α) > 0,

我们可知 $(\sum_{α \in Δ} k_{α} α, β) > 0$ 对某些 $β \in Δ$ 成立，同时有 $k_{β} > 0$ 。具体来说，

⟨ \sum_{α \in Δ} k_{α} α, β ⟩ > 0.

因为 $μ$ 是支配权，故 $⟨ μ, β ⟩$ 是非负的，因此

⟨ μ^{'}, β ⟩ = ⟨ μ, β ⟩ + ⟨ \sum_{α \in Δ} k_{α} α, β ⟩

为正的。由饱和集的定义，从 $μ^{'}$ 中抽走一个 $β$ 后仍在饱和集中——但这让 $k_{β}$ 降了1 。 $◻$

从上述引理中，有最高权 $λ$ 的饱和权集浮现出一幅非常清晰的图像： $Π$ 由小于或等于 $λ$ 的主导权及其在 $W$ 下的共轭元组成。具体来说，对给定的支配权 $λ \in Λ^{+}$ ，至多一个满足条件的饱和集 $Π$ 能存在。相应地，对给定的支配权 $λ$ ，我们可以简单地定义 $Π$ 为包含不超过 $λ$ 的全体支配权及其 $W -$ 共轭元的集合。由于 $Π$ 在 $W$ 作用下不变，其可视作饱和集（练习10）。且由那个无数次用到的共轭引理， $Π$ 中含 $λ$ 作为其最高权。

作为本章的结束，我们证明一个不等式：这对第22节中 Freudethal公式 的应用很重要。

引理：含最高权饱和集元与

δ

之和的模长估计

设 $Π$ 是饱和集，有最高权 $λ$ ，若 $μ \in Π$ ，则

(μ + δ, μ + δ) \leq (λ + δ, λ + δ) .

等号成立当且仅当 $μ = λ$ 。

证明： 若 $μ$ 是主导权，记 $μ = λ - π$ ，这里 $π$ 为正根之和。则

\begin{aligned} (λ + δ, λ + δ) - (μ + δ, μ + δ) & = (λ + δ, λ + δ) - (λ + δ - π, λ + δ - π) \\ = (λ + δ, π) + (π, μ + δ) \\ \geq (λ + δ, π) \geq 0. \end{aligned}

不等式成立的原因是 $μ + δ$ 与 $λ + δ$ 均为支配权。等号成立当且仅当 $π = 0$ ，因为 $λ + δ$ 是强支配权。

对一般情况。由共轭，存在 $σ \in W$ 使 $ν := σ (μ)$ 为支配权。由于 $Π$ 是 $W -$ 不变的，我们有 $ν \in Π$ 。再由支配权原像与 $δ$ 之和的不等式，我们有

(μ + δ, μ + δ) \leq (ν + δ, ν + δ) .

对 $ν$ 用主导权时的结论即证。 $◻$